あ、その音楽、退屈！（３）

音程をどうとるか…音階（１）

七面倒くさい話から始めなければならないので、ご容赦。
　まず大前提として、弦でも管でも膜でも振動して音が出りゃ倍音が出る。倍音って何かというと、元の振動数の整数倍の振動が元の音に乗っかって出ているってことだな。ここで「なんで？」って突っ込まないでほしい。この項を書くにあたって俺も調べたんだわ。でもどれを調べてもだな、「自然音には倍音が含まれています」「ある音を鳴らしたときに自然に発生します」って、当たり前みたいに書いてあるのよ。とりあえず信じるしか方法は無いようなので、納得できないが話を先に進める。
　整数倍と書いたが、２倍の振動数はオクターブだ。３倍はというとその上の完全５度。４倍は２倍の２倍だから２オクターブ上。５倍はその上の長３度、６倍は３倍の２倍だからその上の完全５度。余談だが、７倍はちょっと特殊でこれを短７度と言うかといえば、それよりもかなり低めの７度で、自然７度などと呼ばれている。最初の音をドとすれば、２倍もド。３倍がソ、４倍ド、５倍ミ、６倍ソ、（７倍シb）だな。これ位までならフルートで吹ける。最低音のドの指使いで息のスピードを上げていけば、第３オクターブのシbまでは簡単に鳴らせるだろう。第３倍音のソはちょっと鳴らしにくいかもしれんが。ここまではいわゆる「倍音列」の話で、原則的にはその比が単純であるほどよく調和する。

　次に、真ん中のドから出発して振動数比３：２の純正５度を重ねていくとする。～いわゆる５度圏～（便宜上音名を挙げていくと、ド・ソ・レ・ラ・ミ・シ・ファ＃・ド＃・ソ＃・レ＃・ラ＃・ミ＃・シ＃）と１２回積みあがると、７オクターブ上昇してシ＃、つまり異名同音のドに至る。これを算術的に表現するとこの時のシ＃の振動数は最初の５度の
\[\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{12}=129.746337890625\]倍である。同時に、最初のドの正確な７オクターブ上なので
\[\left(\displaystyle\frac{2}{1}\right)^7=128\]　というわけで、完全５度を何回重ねても最初のドの整数倍の正しいオクターブには到達しない。これは何も５度に限ったことではなく振動数比５：４の長３度を３回重ねると平均律ではオクターブになるはずだが、\[\left(\displaystyle\frac{5}{4}\right)^{3}=1.953125\]で２にならない。同じく振動数比６：５の短３度を４回重ねると\[\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)^{4}=2.0736\]だ。
　これが何を意味するのかと言えば、「純粋な和声を追求すると音楽はあっという間に破綻する。」ということだ。ここで言う音楽とは「和音和声的西洋音楽」と言う意味においてだという注釈をつけておく。こんなことやってると、身が持たんのです。どこかで「誤魔化すしかない」んです。

　ちなみに、オクターブの振動数を単純な整数比で分割していくと、次のようになる。まず、振動数比２：１のオクターブを５度（３：２）と４度（４：３）という二つの音程に分割する。次に、その５度を長３度（５：４）と短３度（６：５）に分割する。(そしてその長３度を大全音（９：８）と小全音（１０：９）に、短３度を大全音（9：８）と大半音（16：15）に(に分割する。さらに小全音を大半音（１６：１５）と小半音（２５：２４）に）に分割する。これらの音程は実はオクターブの内部を分割するときに、もっとも単純な比（\(\left(\displaystyle\frac{n+1}{n}\right)\)、すべて2，3，5を用いて表されている）で分割した結果である。

今日はここまでだ。数式を書くのすごく面倒なのよ。